Электромагнитные колебания формула томсона. Электромагнитные колебания

Электромагнитное поле может существовать и в отсутствие электрических зарядов или токов: именно такие «самоподдерживающиеся» электрическое и магнитное поля представляют собой электромагнитные волны, к которым относятся видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое и рентгеновское излучения, радиоволны и т. д.

§ 25. Колебательный контур

Простейшая система, в которой возможны собственные электромагнитные колебания, - это так называемый колебательный контур, состоящий из соединенных между собой конденсатора и катушки индуктивности (рис. 157). Как и у механического осциллятора, например массивного тела на упругой пружине, собственные колебания в контуре сопровождаются энергетическими превращениями.

Рис. 157. Колебательный контур

Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями. Для колебательного контура аналог потенциальной энергии механического осциллятора (например, упругой энергии деформированной пружины) - это энергия электрического поля в конденсаторе. Аналог кинетической энергии движущегося тела - энергия магнитного поля в катушке индуктивности. В самом деле, энергия пружины пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия а энергия конденсатора пропорциональна квадрату заряда Кинетическая энергия тела пропорциональна квадрату его скорости а энергия магнитного поля в катушке пропорциональна квадрату силы тока

Полная механическая энергия пружинного осциллятора Е равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

Энергия колебаний. Аналогично, полная электромагнитная энергия колебательного контура равна сумме энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке:

Из сопоставления формул (1) и (2) следует, что аналогом жесткости к пружинного осциллятора в колебательном контуре служит величина обратная емкости конденсатора С, а аналогом массы - индуктивность катушки

Напомним, что в механической системе, энергия которой дается выражением (1), могут происходить собственные незатухающие гармонические колебания. Квадрат частоты таких колебаний равен отношению коэффициентов при квадратах смещения и скорости в выражении для энергии:

Собственная частота. В колебательном контуре, электромагнитная энергия которого дается выражением (2), могут происходить собственные незатухающие гармонические колебания, квадрат частоты которых тоже, очевидно, равен отношению соответствующих коэффициентов (т. е. коэффициентов при квадратах заряда и силы тока):

Из (4) следует выражение для периода колебаний, называемое формулой Томсона:

При механических колебаниях зависимость смещения х от времени определяется косинусоидальной функцией, аргумент которой называется фазой колебаний:

Амплитуда и начальная фаза. Амплитуда А и начальная фаза а определяются начальными условиями, т. е. значениями смещения и скорости при

Аналогично, при электромагнитных собственных колебаниях в контуре заряд конденсатора зависит от времени по закону

где частота определяется, в соответствии с (4), только свойствами самого контура, а амплитуда колебаний заряда и начальная фаза а, как и у механического осциллятора, определяется

начальными условиями, т. е. значениями заряда конденсатора и силы тока при Таким образом, собственная частота не зависит от способа возбуждения колебаний, в то время как амплитуда и начальная фаза определяются именно условиями возбуждения.

Энергетические превращения. Рассмотрим подробнее энергетические превращения при механических и электромагнитных колебаниях. На рис. 158 схематически изображены состояния механического и электромагнитного осцилляторов через промежутки времени в четверть периода

Рис. 158. Энергетические превращения при механических и электромагнитных колебаниях

Дважды за период колебаний энергия превращается из одного вида в другой и обратно. Полная энергия колебательного контура как и полная энергия механического осциллятора, в отсутствие диссипации остается неизменной. Чтобы убедиться в этом, нужно в формулу (2) подставить выражение (6) для и выражение для силы тока

Используя формулу (4) для получаем

Рис. 159. Графики зависимости от времени заряда конденсатора энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля в катушке

Неизменная полная энергия совпадает с потенциальной энергией в моменты, когда заряд конденсатора максимален, и совпадает с энергией магнитного поля катушки - «кинетической» энергией - в моменты, когда заряд конденсатора обращается в нуль, а ток максимален. При взаимных превращениях два вида энергии совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой в противофазе друг с другом и с частотой относительно своего среднего значения . В этом легко убедиться как из рис. 158, так и с помощью формул тригонометрических функций половинного аргумента:

Графики зависимости от времени заряда конденсатора энергии электрического поля и энергии магнитного поля показаны на рис. 159 для начальной фазы

Количественные закономерности собственных электромагнитных колебаний можно установить непосредственно на основе законов для квазистационарных токов, не обращаясь к аналогии с механическими колебаниями.

Уравнение для колебаний в контуре. Рассмотрим простейший колебательный контур, показанный на рис. 157. При обходе контура, например, против часовой стрелки, сумма напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе в такой замкнутой последовательной цепи равна нулю:

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом пластины и с емкостью С соотношением Напряжение на индуктивности в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому Ток в цепи равен скорости изменения заряда конденсатора: Подставляя силу тока в выражение для напряжения на катушке индуктивности и обозначая вторую производную заряда конденсатора по времени через

Получим Теперь выражение (10) принимает вид

Перепишем это уравнение иначе, вводя по определению :

Уравнение (12) совпадает с уравнением гармонических колебаний механического осциллятора с собственной частотой Решение такого уравнения дается гармонической (синусоидальной) функцией времени (6) с произвольными значениями амплитуды и начальной фазы а. Отсюда следуют все приведенные выше результаты, касающиеся электромагнитных колебаний в контуре.

Затухание электромагнитных колебаний. До сих пор обсуждались собственные колебания в идеализированной механической системе и идеализированном LC-контуре. Идеализация заключалась в пренебрежении трением в осцилляторе и электрическим сопротивлением в контуре. Только в этом случае система будет консервативной и энергия колебаний будет сохраняться.

Рис. 160. Колебательный контур с сопротивлением

Учет диссипации энергии колебаний в контуре можно провести аналогично тому, как это было сделано в случае механического осциллятора с трением. Наличие электрического сопротивления катушки и соединительных проводов неизбежно связано с выделением джоулевой теплоты. Как и раньше, это сопротивление можно рассматривать как самостоятельный элемент в электрической схеме колебательного контура, считая катушку и провода идеальными (рис. 160). При рассмотрении квазистационарного тока в таком контуре в уравнение (10) нужно добавить напряжение на сопротивлении

Подставляя в получаем

Вводя обозначения

перепишем уравнение (14) в виде

Уравнение (16) для имеет точно такой же вид, как и уравнение для при колебаниях механического осциллятора с

трением, пропорциональным скорости (вязким трением). Поэтому при наличии электрического сопротивления в контуре электромагнитные колебания происходят по такому же закону, как и механические колебания осциллятора с вязким трением.

Диссипация энергии колебаний. Как и при механических колебаниях, можно установить закон убывания со временем энергии собственных колебаний, применяя закон Джоуля-Ленца для подсчета выделяющейся теплоты:

В результате в случае малого затухания для промежутков времени, много больших периода колебаний, скорость убывания энергии колебаний оказывается пропорциональной самой энергии:

Решение уравнения (18) имеет вид

Энергия собственных электромагнитных колебаний в контуре с сопротивлением убывает по экспоненциальному закону.

Энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды. Для электромагнитных колебаний это следует, например, из (8). Поэтому амплитуда затухающих колебаний, в соответствии с (19), убывает по закону

Время жизни колебаний. Как видно из (20), амплитуда колебаний убывает в раз за время равное независимо от начального значения амплитуды Это время х носит название времени жизни колебаний, хотя, как видно из (20), колебания формально продолжаются бесконечно долго. В действительности, конечно, о колебаниях имеет смысл говорить лишь до тех пор, пока их амплитуда превышает характерное значение уровня тепловых шумов в данной цепи. Поэтому фактически колебания в контуре «живут» конечное время, которое, однако, может в несколько раз превосходить введенное выше время жизни х.

Часто бывает важно знать не само по себе время жизни колебаний х, а число полных колебаний, которое произойдет в контуре за это время х. Это число умноженное на называют добротностью контура.

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими. При малом затухании можно условно говорить о периоде, под которым понимают промежуток времени между двумя

последонательными максимальными значениями заряда конденсатора (одинаковой полярности), либо максимальными значениями тока (одного направления).

Затухание колебаний влияет на период, приводя к его возрастанию по сравнению с идеализированным случаем отсутствия затухания. При малом затухании увеличение периода колебаний очень незначительно. Однако при сильном затухании колебаний вообще может не быть: заряженный конденсатор будет разряжаться апериодически, т. е. без изменения направления тока в контуре. Так будет при т. е. при

Точное решение. Сформулированные выше закономерности затухающих колебаний следуют из точного решения дифференциального уравнения (16). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что оно имеет вид

где - произвольные постоянные, значения которых определяются из начальных условий. При малом затухании множитель при косинусе можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду колебаний.

Задача

Перезарядка конденсаторов через катушку индуктивности. В цепи, схема которой показана на рис. 161, заряд верхнего конденсатора равен а нижний не заряжен. В момент ключ замыкают. Найти зависимость от времени заряда верхнего конденсатора и тока в катушке.

Рис. 161. В начальный момент времени заряжен только один конденсатор

Рис. 162. Заряды конденсаторов и ток в контуре после замыкания ключа

Рис. 163. Механическая аналогия для электрической цепи, показанной на рис. 162

Решение. После замыкания ключа в цепи возникают колебания: верхний конденсатор начинает разряжаться через катушку, заряжая при этом нижний; затем все происходит в обратном направлении. Пусть, например, при положительно заряжена верхняя обкладка конденсатора. Тогда

спустя малый промежуток времени знаки зарядов обкладок конденсаторов и направление тока будут такими, как показано на рис. 162. Обозначим через заряды тех обкладок верхнего и нижнего конденсаторов, которые соединены между собой через катушку индуктивности. На основании закона сохранения электрического заряда

Сумма напряжений на всех элементах замкнутого контура в каждый момент времени равна нулю:

Знак напряжения на конденсаторе соответствует распределению зарядов на рис. 162. и указанному направлению тока. Выражение для тока через катушку можно записать в любом из двух видов:

Исключим из уравнения помощью соотношений (22) и (24):

Вводя обозначения

перепишем (25) в следующем виде:

Если вместо ввести функцию

и учесть, что то (27) принимает вид

Это обычное уравнение незатухающих гармонических колебаний, которое имеет решение

где и - произвольные постоянные.

Возвращаясь от функции получим для зависимости от времени заряда верхнего конденсатора следующее выражение:

Для определения постоянных и а учтем, что в начальный момент заряд а ток Для силы тока из (24) и (31) имеем

Поскольку отсюда следует, что Подставляя теперь в и учитывая, что получаем

Итак, выражения для заряда и силы тока имеют вид

Характер осцилляций заряда и тока особенно нагляден при одинаковых значениях емкостей конденсаторов . В этом случае

Заряд верхнего конденсатора осциллирует с амплитудой около среднего значения, равного За половину периода колебаний он уменьшается от максимального значения в начальный момент до нуля, когда весь заряд оказывается на нижнем конденсаторе.

Выражение (26) для частоты колебаний разумеется, можно было написать сразу, поскольку в рассматриваемом контуре конденсаторы соединены последовательно. Однако написать выражения (34) непосредственно затруднительно, так как при таких начальных условиях нельзя входящие в контур конденсаторы заменить одним эквивалентным.

Наглядное представление о происходящих здесь процессах дает механический аналог данной электрической цепи, показанный на рис. 163. Одинаковые пружины соответствуют случаю конденсаторов одинаковой емкости. В начальный момент левая пружина сжата, что соответствует заряженному конденсатору, а правая находится в недеформированном состоянии, так как аналогом заряда конденсатора здесь служит степень деформации пружины. При прохождении через среднее положение обе пружины частично сжаты, а в крайнем правом положении левая пружина недеформирована, а правая сжата так же, как левая в начальный момент, что соответствует полному перетеканию заряда с одного конденсатора на другой. Хотя шар совершает обычные гармонические колебания около положения равновесия, деформация каждой из пружин описывается функцией, среднее значение которой отлично от нуля.

В отличие от колебательного контура с одним конденсатором, где при колебаниях происходит повторяющаяся его полпая перезарядка, в рассмотренной системе первоначально заряженный конденсатор полностью не перезаряжается. Например, при его заряд уменьшается до нуля, а затем снова восстанавливается в той же полярности. В остальном эти колебания не отличаются от гармонических колебаний в обычном контуре. Энергия этих колебаний сохраняется, если, разумеется, можно пренебречь сопротивлением катушки и соединительных проводов.

Поясните, почему из сопоставления формул (1) и (2) для механической и электромагнитной энергий сделан вывод о том, что аналогом жесткости к является а аналогом массы индуктивность а не наоборот.

Приведите обоснование вывода выражения (4) для собственной частоты электромагнитных колебаний в контуре из аналогии с механическим пружинным осциллятором.

Гармонические колебания в -контуре характеризуются амплитудой, частотой, периодом, фазой колебаний, начальной фазой. Какие из этих величин определяются свойствами самого колебательного контура, а какие зависят от способа возбуждения колебаний?

Докажите, что средние значения электрической и магнитной энергий при собственных колебаниях в контуре равны между собой и составляют половину полной электромагнитной энергии колебаний.

Как применить законы квазистационарных явлений в электрической цепи для вывода дифференциального уравнения (12) гармонических колебаний в -контуре?

Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет сила тока в LC-контуре?

Проведите вывод уравнения для скорости убывания энергии колебаний при малом затухании аналогично тому, как это было сделано для механического осциллятора с трением, пропорциональным скорости, и покажите, что для промежутков времени, значительно превосходящих период колебаний, это убывание происходит по экспоненциальному закону. Какой смысл имеет использованный здесь термин «малое затухание»?

Покажите, что функция даваемая формулой (21), удовлетворяет уравнению (16) при любых значениях и а.

Рассмотрите механическую систему, показанную на рис. 163, и найдите зависимость от времени деформации левой пружины и скорости массивного тела.

Контур без сопротивления с неизбежными потерями. В рассмотренной выше задаче, несмотря на не совсем обычные начальные условия для зарядов на конденсаторах, можно было применить обычные уравнения для электрических цепей, поскольку там были выполнены условия квазистационарности протекающих процессов. А вот в цепи, схема которой показана на рис. 164, при формальном внешнем сходстве со схемой на рис. 162, условия квазистационарности не выполняются, если в начальный момент один конденсатор заряжен, а второй - нет.

Обсудим подробнее причины, по которым здесь нарушаются условия квазистационарности. Сразу после замыкания

Рис. 164. Электрическая цепь, для которой не выполняются условия квазистационарности

ключа все процессы разыгрываются только в соединенных между собой конденсаторах, так как нарастание тока через катушку индуктивности происходит сравнительно медленно и поначалу ответвлением тока в катушку можно пренебречь.

При замыкании ключа возникают быстрые затухающие колебания в контуре, состоящем из конденсаторов и соединяющих их проводов. Период таких колебаний очень мал, так как мала индуктивность соединительных проводов. В результате этих колебаний заряд на пластинах конденсаторов перераспределяется, после чего два конденсатора можно рассматривать как один. Но в первый момент этого делать нельзя, ибо вместе с перераспределением зарядов происходит и перераспределение энергии, часть которой переходит в теплоту.

После затухания быстрых колебаний в системе происходят колебания, как в контуре с одним конденсатором емкости заряд которого в начальный момент равен первоначальному заряду конденсатора Условием справедливости приведенного рассуждения является малость индуктивности соединительных проводов по сравнению с индуктивностью катушки.

Как и в рассмотренной задаче, полезно и здесь найти механическую аналогию. Если там две пружины, соответствующие конденсаторам, были расположены по обе стороны массивного тела, то здесь они должны быть расположены по одну сторону от него, так чтобы колебания одной из них могли передаваться другой при неподвижном теле. Вместо двух пружин можно взять одну, но только в начальный момент она должна быть деформирована неоднородно.

Захватим пружину за середину и растянем ее левую половину на некоторое расстояние Вторая половина пружины останется в недеформированном состоянии, так что груз в начальный момент смещен из положения равновесия вправо на расстояние При начальных условиях нашей задачи, когда на расстояние растянута половина пружины, запас энергии равен ибо, как нетрудно сообразить, жесткость «половины» пружины равна Если масса пружины мала по сравнению с массой шара, частота собственных колебаний пружины как протяженной системы много больше частоты колебаний шара на пружине. Эти «быстрые» колебания затухнут за время, составляющее малую долю периода колебаний шара. После затухания быстрых колебаний натяжение в пружине перераспределяется, а смещение груза практически остается равным так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация пружины становится однородной, а энергия системы равной

Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому, что запас энергии системы уменьшился до того значения, которое соответствует однородной начальной деформации пружины. Ясно, что дальнейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной начальной деформации. Зависимость смещения груза от времени выражается той же самой формулой (36).

В рассмотренном примере в результате быстрых колебаний превратилась во внутреннюю энергию (в теплоту) половина первоначального запаса механической энергии. Ясно, что, подвергая начальной деформации не половину, а произвольную часть пружины, можно превратить во внутреннюю энергию любую долю первоначального запаса механической энергии. Но во всех случаях энергия колебаний груза на пружине соответствует запасу энергии при той же однородной начальной деформации пружины.

В электрической цепи в результате затухающих быстрых колебаний энергия заряженного конденсатора частично выделяется в виде джоулевой теплоты в соединительных проводах. При равных емкостях это будет половина первоначального запаса энергии. Вторая половина остается в форме энергии сравнительно медленных электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из катушки и двух соединенных параллельно конденсаторов С, и

Таким образом, в этой системе принципиально недопустима идеализация, при которой пренебрегается диссипацией энергии колебаний. Причина этого в том, что здесь возможны быстрые колебания, не затрагивающие катушки индуктивности или массивного тела в аналогичной механической системе.

Колебательный контур с нелинейными элементами. При изучении механических колебаний мы видели, что колебания далеко не всегда бывают гармоническими. Гармонические колебания - это характерное свойство линейных систем, в которых

возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия, а потенциальная энергия - квадрату отклонения. Реальные механические системы этими свойствами, как правило, не обладают, и колебания в них можно считать гармоническими лишь при малых отклонениях от положения равновесия.

В случае электромагнитных колебаний в контуре может сложиться впечатление, что мы имеем дело с идеальными системами, в которых колебания строго гармонические. Однако это верно лишь до тех пор, пока емкость конденсатора и индуктивность катушки можно считать постоянными, т. е. не зависящими от заряда и тока. Конденсатор с диэлектриком и катушка с сердечником, строго говоря, представляют собой нелинейные элементы. Когда конденсатор заполнен сегнетоэлектриком, т. е. веществом, диэлектрическая проницаемость которого сильно зависит от приложенного электрического поля, емкость конденсатора уже нельзя считать постоянной. Аналогично, индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от силы тока, так как ферромагнетик обладает свойством магнитного насыщения.

Если в механических колебательных системах массу, как правило, можно считать постоянной и нелинейность возникает только из-за нелинейного характера действующей силы, то в электромагнитном колебательном контуре нелинейность может возникать как за счет конденсатора (аналога упругой пружины), так и за счет катушки индуктивности (аналога массы).

Почему для колебательного контура с двумя параллельными конденсаторами (рис. 164) неприменима идеализация, в которой система считается консервативной?

Почему быстрые колебания, приводящие к диссипации энергии колебаний в контуре на рис. 164, не возникали в контуре с двумя последовательными конденсаторами, показанными на рис. 162?

Какие причины могут приводить к несинусоидальности электромагнитных колебаний в контуре?

Формула Томсона выглядит следующим образом :

$T\; =\; 2\backslash pi\; \backslash sqrt\{LC\}$

См. также

Напишите отзыв о статье "Формула Томсона"

Примечания

Отрывок, характеризующий Формула Томсона

• Электромагнитные колебания – это периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.

• Свободными называются такие колебания , которые возникают в замкнутой системе вследствие отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.

При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур .

• Идеальный колебательный контур (LC-контур ) - электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C .

В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R , электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю. Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального контура.

На рисунке 1 изображена схема идеального колебательного контура.

Энергии контура

Полная энергия колебательного контура

\(W=W_{e} + W_{m}, \; \; \; W_{e} =\dfrac{C\cdot u^{2} }{2} = \dfrac{q^{2} }{2C}, \; \; \; W_{m} =\dfrac{L\cdot i^{2}}{2},\)

Где W e - энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С - электроемкость конденсатора, u - значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q - значение заряда конденсатора в данный момент времени, W m - энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L - индуктивность катушки, i -значение силы тока в катушке в данный момент времени.

Процессы в колебательном контуре

Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.

Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q m (рис. 2, положение 1 ). С учетом уравнения \(U_{m}=\dfrac{Q_{m}}{C}\) находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.

После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2 ). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u \(\left(u = \dfrac{q}{C} \right).\) При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I m (см. рис. 2, положение 3 ).

Без электрического поля конденсатора (и сопротивления) электроны, создающие ток, продолжают свое движение по инерции. При этом электроны, приходящие на нейтральную обкладку конденсатора, сообщают ей отрицательный заряд, электроны, уходящие с нейтральной обкладки, сообщают ей положительный заряд. На конденсаторе начинает появляться заряд q (и напряжение u ), но противоположного знака, т.е. конденсатор перезаряжается. Теперь новое электрическое поле конденсатора препятствует движению электронов, поэтому сила тока i начинает убывать (см. рис. 2, положение 4 ). Опять же это происходит не мгновенно, поскольку теперь ЭДС самоиндукции стремится скомпенсировать уменьшение тока и «поддерживает» его. А значение силы тока I m (в положении 3 ) оказывается максимальным значением силы тока в контуре.

И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6 )до нуля (см. рис. 2, положение 7 ). И так далее.

Так как заряд на конденсаторе q (и напряжение u ) определяет его энергию электрического поля W e \(\left(W_{e}=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{C \cdot u^{2}}{2} \right),\) а сила тока в катушке i - энергию магнитного поля Wm \(\left(W_{m}=\dfrac{L \cdot i^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменениями заряда, напряжения и силы тока, будут изменяться и энергии.

Обозначения в таблице:

\(W_{e\, \max } =\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot U_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 2} =\dfrac{q_{2}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 4} =\dfrac{q_{4}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 6} =\dfrac{q_{6}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{6}^{2} }{2},\)

\(W_{m\; \max } =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m2} =\dfrac{L\cdot i_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m4} =\dfrac{L\cdot i_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m6} =\dfrac{L\cdot i_{6}^{2} }{2}.\)

Полная энергия идеального колебательного контура сохраняется с течением времени, поскольку в нем потерь энергии (нет сопротивления). Тогда

\(W=W_{e\, \max } = W_{m\, \max } = W_{e2} + W_{m2} = W_{e4} +W_{m4} = ...\)

Таким образом, в идеальном LC -контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока i , заряда q и напряжения u , причем полная энергия контура при этом будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания .

• Свободные электромагнитные колебания в контуре - это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд конденсатора q и сила тока в катушке i достигают своих максимальных значений Q m и I m в различные моменты времени.

Свободные электромагнитные колебания в контуре происходят по гармоническому закону:

\(q=Q_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; u=U_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; i=I_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{2} \right).\)

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC -контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Период свободных электромагнитных колебаний в LC -контуре определяется по формуле Томсона:

\(T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \;\;\; \omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\)

Сточки зрения механической аналогии, идеальному колебательному контурусоответствует пружинный маятник без трения, а реальному - с трением. Вследствиедействия сил трения колебания пружинного маятника затухают с течением времени.

*Вывод формулы Томсона

Поскольку полная энергия идеального LC -контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство

\(W=\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} =\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} ={\rm const}.\)

Получим уравнение колебаний в LC -контуре, используя закон сохранения энергии. Продифференцировав выражение для его полной энергии по времени, с учетом того, что

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

получаем уравнение, описывающее свободные колебания в идеальном контуре:

\(\left(\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} \right)^{{"} } =\dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac{q}{C} +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac{1}{L\cdot C} \cdot q=0.\)

Переписав его в виде:

\(q""+\omega ^{2} \cdot q=0,\)

замечаем, что это - уравнение гармонических колебаний с циклической частотой

\(\omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C} }.\)

Соответственно период рассматриваемых колебаний

\(T=\dfrac{2\pi }{\omega } =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}.\)

Литература

1. Жилко, В.В. Физика: учеб. пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - С. 39-43.

Если сравнить рис. 50 с рис. 17, на котором показаны колебания тела на пружинах, то нетрудно установить большое сходство во всех стадиях процесса. Можно составить своего рода «словарь», с помощью которого описание электрических колебаний можно тотчас же перевести на описание механических, и обратно. Вот этот словарь.

Попробуйте перечитать предыдущий параграф с этим «словарем». В начальный момент конденсатор заряжен (тело отклонено), т. е. системе сообщен запас электрической (потенциальной) энергии. Начинает течь ток (тело приобретает скорость), через четверть периода ток и магнитная энергия наибольшие, а конденсатор разряжен, заряд на нем равен нулю (скорость тела и его кинетическая энергия наибольшие, причем тело проходит через положение равновесия), и т.д.

Заметим, что начальный заряд конденсатора и, следовательно, напряжение на нем создаются электродвижущей силой батареи. С другой стороны, начальное отклонение тела создается приложенной извне силой. Таким образом, сила, действующая на механическую колебательную систему, играет роль, аналогичную электродвижущей силе, действующей на электрическую колебательную систему. Наш «словарь» может быть поэтому дополнен еще одним «переводом»:

7) сила, 7) электродвижущая сила.

Сходство закономерностей обоих процессов идет и дальше. Механические колебания затухают из-за трения: при каждом колебании часть энергии превращается из-за трения в теплоту, поэтому амплитуда делается все меньше. Точно так же при каждой перезарядке конденсатора часть энергии тока переходит в теплоту, выделяющуюся из-за наличия сопротивления у провода катушки. Поэтому и электрические колебания в контуре тоже затухают. Сопротивление играет для электрических колебаний ту же роль, что трение для механических колебаний.

В 1853г. английский физик Вильям Томсон (лорд Кельвин, 1824-1907) показал теоретически, что собственные электрические колебания в контуре, состоящем из конденсатора емкости и катушки индуктивности , являются гармоническими, и период их выражается формулой

( - в генри, - в фарадах, - в секундах). Эта простая и очень важная формула называется формулой Томсона. Сами колебательные контуры с емкостью и индуктивностью часто тоже называют томсоновскими, так как Томсон впервые дал теорию электрических колебаний в таких контурах. В последнее время все чаще используется термин «-контур» (и аналогично «-контур», «-контур» и т. п.).

Сравнивая формулу Томсона с формулой, определяющей период гармонических колебаний упругого маятника (§ 9), , мы видим, что масса тела играет такую же роль, как индуктивность , а жесткость пружины - такую же роль, как величина, обратная емкости (). В соответствии с этим в нашем «словаре» вторую строку можно записать и так:

2) жесткость пружины 2) величина, обратная емкости конденсатора.

Подбирая разные и , можно получить любые периоды электрических колебаний. Естественно, в зависимости от периода электрических колебаний надо пользоваться различными способами их наблюдения и записи (осциллографирования). Если взять, например, и , то период будет

т. е. колебания будут происходить с частотой около . Это пример электрических колебаний, частота которых лежит в звуковом диапазоне. Такие колебания можно услышать при помощи телефона и записать на шлейфовом осциллографе. Электронный осциллограф позволяет получить развертку как таких, так и более высокочастотных колебаний. В радиотехнике используются чрезвычайно быстрые колебания - с частотами во много миллионов герц. Электронный осциллограф позволяет наблюдать их форму так же хорошо, как мы можем с помощью следа маятника на закопченной пластинке (§ 3) видеть форму колебаний маятника. Осциллографирование свободных электрических колебаний при однократном возбуждении колебательного контура обычно не применяется. Дело в том, что состояние равновесия в контуре устанавливается всего лишь за несколько периодов, или, в лучшем случае, за несколько десятков периодов (в зависимости от соотношения между индуктивностью контура , его емкостью и сопротивлением ). Если, скажем, процесс затухания практически заканчивается за 20 периодов, то в приведенном выше примере контура с периодам в вся вспышка свободных колебаний займет всего и уследить за осциллограммой при простом визуальном наблюдении будет весьма трудно. Задача легко решается, если весь процесс - от возбуждения колебаний до их практически полного угасания - периодически повторять. Сделав развертывающее напряжение электронного осциллографа тоже периодическим и синхронным с процессом возбуждения колебаний, мы заставим электронный пучок многократно «рисовать» одну и ту же осциллограмму на одном и том же месте экрана. При достаточно частом повторении наблюдаемая на экране картина вообще будет казаться непрерывающейся, т. е. мы усидим неподвижную и неизменную кривую, представление о которой дает рис. 49, б.

В схеме с переключателем, показанной на рис. 49, а, многократное повторение процесса можно получить просто, периодически перебрасывая переключатель из одного положения в другое.

Радиотехника располагает для этой же гораздо более совершенными и быстрым электрическими способами переключения, использующими схемы с электронными лампами. Но еще до изобретения электронных ламп был придуман остроумный способ периодического повторения возбуждения затухающих колебаний в контуре, основанный на использовании искрового заряда. Ввиду простоты и наглядности этого способа мы остановимся на нем несколько подробнее.

Рис. 51. Схема искрового возбуждения колебаний в контуре

Колебательный контур разорван небольшим промежутком (искровой промежуток 1), концы которого присоединены ко вторичной обмотке повышающего трансформатора 2 (рис. 51). Ток от трансформатора заряжает конденсатор 3 до тех пор, пока напряжение на искровом промежутке не станет равным напряжению пробоя (см. том II, §93). В этот момент в искровом промежутке происходит искровой разряд, который замыкает контур, так как столбик сильно ионизованного газа в канале искры проводит ток почти так же хорошо, как и металл. В таком замкнутом контуре возникнут электрические колебания, как это описано выше. Пока искровой промежуток хорошо проводит ток, вторичная обмотка трансформатора практически замкнута искрой накоротко, так что все напряжение трансформатора падает на его вторичной обмотке, сопротивление которой значительно больше сопротивления искры. Следовательно, при хорошо проводящем искровом промежутке трансформатор практически не доставляет энергии контуру. В силу того, что контур обладает сопротивлением, часть колебательное энергии расходуется на джоулево тепло, а также на процессы в искре, колебания затухают и через короткое время амплитуды тока и напряжения падают настолько, что искра гаснет. Тогда электрические колебания обрываются. С этого момента трансформатор вновь заряжает конденсатор, пока опять не произойдет пробой, и весь процесс повторится (рис. 52). Таким образом, образование искры и ее погасание играют роль автоматического переключателя, обеспечивающего повторение колебательного процесса.

Рис. 52. Кривая а) показывает, как меняется высокое напряжение на разомкнутой вторичной обмотке трансформатора. В те моменты, когда это напряжение достигает напряжения пробоя , в искровом промежутке проскакивает искра, контур замыкается, получается вспышка затухающих колебаний – кривые б)

Tomsono virpesių formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Thomson’s formula vok. Thomsonsche Schwingungsformel, f rus. формула Томсона, f pranc. formule de Thomson, f … Fizikos terminų žodynas

Зависимость дифференциального сечения рассеяния от угла рассеяния для различных значений энергий фотона Формула Клейна Нишины формула, описывающая … Википедия

- [по вмени англ. физика У. Томсона (W. Thomson; 1824 1907)] ф ла, выражающая зависимость периода Т незатухающих собственных колебаний в колебательном контуре от его параметров индуктивности L и ёмкости С: Т = 2ПИ корень из LC (здесь L в Гн, С в Ф … Большой энциклопедический политехнический словарь

Эффект Томсона одно из термоэлектрических явлений, заключающееся в том, что в однородном неравномерно нагретом проводнике с постоянным током, дополнительно к теплоте, выделяемой в соответствии с законом Джоуля Ленца, в объёме… … Википедия

Выражение для дифференц. сечения ds рассеяния фотона на электроне (см. Комптона эффект). В лаб. системе координат где частоты падающего и рассеянного фотона, элемент телесного угла для рассеянного фотона, угол рассеяния, параметр r0 = e … Физическая энциклопедия

- (Thomson) (в 1892 за научные заслуги получил титул барона Кельвина, Kelvin) (1824 1907), английский физик, член (1851) и президент (1890 1895) Лондонского королевского общества, иностранный член корреспондент (1877) и иностранный почётный член… … Энциклопедический словарь

- (Thomson, William), лорд Кельвин (1824 1907), английский физик, один из основоположников термодинамики. Родился в Белфасте (Ирландия) 26 июня 1824. Лекции отца, профессора математики университета Глазго, начал посещать уже в 8 лет, а в 10 стал… … Энциклопедия Кольера

I Томсон Александр Иванович , русский советский языковед, член корреспондент Петербургской АН (1910). Окончил Петербургский университет (1882). Профессор Новороссийского университета …

Томсон (Thomson), лорд Кельвин (Kelvin) Уильям (26.6.1824, Белфаст, ‒ 17.12.1907, Ларгс, близ Глазго; похоронен в Лондоне), английский физик, один из основателей термодинамики и кинетической теории газов, член Лондонского королевского общества (с … Большая советская энциклопедия

- (Thomson, Joseph John) (1856 1940), английский физик, удостоенный Нобелевской премии по физике 1906 за работы, которые привели к открытию электрона. Родился 18 декабря 1856 в пригороде Манчестера Читем Хилле. В возрасте 14 лет поступил в Оуэнс… … Энциклопедия Кольера