Графический метод решения злп. Решение задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим методом

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи ЛП определяет на координатной плоскости (х 1 ,х 2 ) некоторую полуплоскость (рис. 1), а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена, выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.

Примечание № 1. Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство

a il x 1 +a i 2 x 2 =b

можно представить в виде системы двух неравенств (рис. 1)

A i 2 x 2 <Ь 1э +a i 2 x 2 >bj.

ЦФ L(x)= с1х1 + с2х2 при фиксированном значении L(х)=L определяет на плоскости прямую линию с1х1 + с2х2 = L. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси х2 (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой tgа = -- останется постоянным (рис. 1).

Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор C = (c1;c2) с координатами из коэффициентов ЦФ при х1 и х2 перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис. 1). Направление вектора С совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора С.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора С в ОДР производится поиск оптимальной точки X = (х1; х2). Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня L max (L min), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции L(x). Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.

Допустимая область - полуплоскость

Рисунок 1

1.2. Методика решения задач лп графическим методом

I. Вограничениях задачи замените знаки неравенств на знаки точных равенств и постройте соответствующие прямые.

II. Найдите и заштрихуйте полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи. Для этого подставьте в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверьте истинность полученного неравенства.

Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку; иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку х1 и х2 должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси х 1 и правее оси х2, т.е. в 1-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой, поэтому выделите на графике такие прямые.

Определите ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделите ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений, о чем сделайте соответствующий вывод.

Если ОДР - не пустое множество, то постройте целевую прямую, т.е. любую из линий уровня с 1 х 1 + с 2 х 2 = L, где L - произвольное число, например, кратное с 1 и с 2 , т.е. удобное для проведения расчетов. Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

V. Постройте вектор C = (c 1 ,с 2), который начинается в точке (0;0), заканчивается в точке (c 1 ,с 2). Если целевая прямая и вектор С построены верно, то они будут перпендикулярны.

VI. При поиске max ЦФ передвигайте целевую прямую в направлении вектора С, при поиске min ЦФ - против направления вектора С. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой max или min ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то сделайте вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске шах) или снизу (при поиске min).

Определите координаты точки max (min) ЦФ X = (х1 * ; х2 * ) и вычислите значение ЦФ l(x *). Для вычисления координат оптимальной точки X * решите систему уравнений прямых, на пересечении которых находится X * .

Задача 1

Найдем оптимальное решение задачи, математическая модель которой имеет вид

L(Х) = 3x 1 + 2x 2 → max

х 1 + 2х 2 < 6, (1)

2х 1 + х 2 < 8, (2)

Х 1 +х 2 <1, (3)

х 2 < 2, (4)

х 1 >0,х 2 >0.

Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис. 2).

х 1 + 2х 2 = 6,(1)

2х1 + х2= 8,(2)

(1) х1=0, х1=6, х2=3, х2=0,

(2) х1=0, х1=4, х2=8, х2=0,

(3) х1=0, х1=-1, х2=1, х2=0,

Прямая (4) проходит через точку х 2 = 2 параллельно оси L(Х).

Рис. 2. Графическое решение задачи

Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (3), получим 0 < 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (рис. 2). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDEF.

Целевую прямую можно построить по уравнению

Строим вектор С из точки (0;0) в точку (3;2). Точка Е- это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора С. Поэтому Е -это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)

Х1 +2х 2 =6, (1) х1=10/3=3 1/3, х2=4/3=1 1/3

2 Х1 +х 2 =8, (2) Е 3 1/3; 1 1/3

Максимальное значение ЦФ равно L(E) = 3*10/3+2*4/3 = 12 2 / 3

Задача. Решить графически задачу линейного программирования, определив экстремальное значение целевой функции:

при ограничениях

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 3x 1 +x 2 = 9 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 9. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 3. Соединяем точку (0;9) с (3;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 3 . 0 + 1 . 0 - 9 ≤ 0, т.е. 3x 1 +x 2 - 9≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x 1 +2x 2 = 8 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 8. Соединяем точку (0;4) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 . 0 + 2 . 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +2x 2 - 8≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x 1 +x 2 = 8 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 8. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 8. Соединяем точку (0;8) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 . 0 + 1 . 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +x 2 - 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Проверить правильность построения графиков функций можно с помощью калькулятора

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x 1 +6x 2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x 1 +6x 2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (4; 6). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = 4x 1 +6x 2 пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
3x 1 +x 2 =9
x 1 +2x 2 =8

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 2, x 2 = 3
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*2 + 6*3 = 26

В линейном программировании используется графический метод, с помощью которого определяют выпуклые множества (многогранник решений). Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то целевая функция принимает значение в одной из вершин многогранника решений (см. рисунок).

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса можно в онлайн режиме решить задачу линейного программирования геометрическим методом, а также получить решение двойственной задачи (оценить оптимальность использования ресурсов). Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите количество строк (количество ограничений).

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Симплексный метод решения ЗЛП

Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Вычисление пределов

Решение задачи линейного программирования графическим методом включает следующие этапы :

1. На плоскости X 1 0X 2 строят прямые.
2. Определяются полуплоскости.
3. Определяют многоугольник решений;
4. Строят вектор N(c 1 ,c 2), который указывает направление целевой функции;
5. Передвигают прямую целевую функцию c 1 x 2 + c 2 x 2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений.
6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

Пример . Компания изготавливает два вида продукции - П1 и П2. Для производства продукции используются два вида сырья - С1 и С2. Оптовые цены единицы продукции равна: 5 д.е. для П1 и 4 д.е. для П2. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в таблице.
Таблица - Расход сырья на производство продукции

1. Сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.
2. Решить задачу линейного программирования графическим способом (для двух переменных).

Ограничения по ресурсам
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6

Ограничения по спросу
x 1 +1 ≥ x 2
x 2 ≤ 2

Целевая функция
5x 1 + 4x 2 → max

Тогда получаем следующую ЗЛП:
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x 2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x 1 + 4x 2 → max